一、正反馈

正反馈是指已知变量的增加引起应变量进一步增加。复杂系统中最典型也非常常见的特征大概就是系统所表现出来的正反馈。

正反馈与圣吉（Peter M. Senge）所谓的“匹格梅林效应”相一致：“在‘匹格梅林效应’这种增强反馈的过程中，小小的差异会不断自动扩大，一旦开始，动作就会扩大，产生更多同方向的运作，就像以复利方式计算利息一样，本金愈滚愈多。”［20］人们也常常用“滚雪球”来比喻正反馈：雪球越大，滚得越快，滚上球的雪也就越多。

二、非线性系统中的正反馈

1.非线性与正反馈

非线性系统往往具有正反馈特征。非线性系统中的正反馈使得非线性系统的变化速度与复杂性进一步增加，并表现出按指数规律变化的趋势，出现“进化”加速的基本现象。

2.正反馈使系统很快达到临界状态

原来的状态仍起作用，同时又会由于非线性而迅速形成新的状态。非线性使得系统进入多样状态，而收敛性又使其维持在多样并存的状态之中。正反馈将使系统很快达到多样并存的临界状态。在这种临界状态中，系统具有极度的不稳定性，即使受到微小的刺激，系统也会由一种状态迅速转移到另一种状态。尤为重要的是，两种状态之间的距离并不因刺激的无穷小而无限接近，而是呈现出有一定大小的有限性。这种迅速转移就是正反馈的作用效果。

三、李雅普诺夫指数

1.李雅普诺夫指数

香农为发展信息理论创建了描述系统运动特征的描述量。他使用热力学中的一个重要概念——熵，并用“比特”作为信息的单位来度量一条信息被正确接收的不确定性。进入系统的“比特”越多，系统的熵——不确定性就越高。

从动力学的意义上看，李雅普诺夫（A.M. Lyapunov）指数（李指数）是相邻两个点分离程度的量度。由混沌动力学可知，当混沌运动出现时，相邻点之间的距离将随着时间的演化以指数形式相分离。而李指数度量了这种分离的强度。如图4.1所示。

图4.1相邻两点经映射后的变化示意图

图中的λ即为李指数。

定义

显然，λ＞0对应着扩张变换；λ≤0则对应着收缩变换。结合2－5式可以看出，好奇心与李指数直接对应，李指数可以作为好奇心强度的一种度量。

2.李指数与信息丢失

由动力学稳定性条件可知，稳定的不动点对应负的李指数，不稳定的不动点对应包含着正的李指数。在稳定不动点附近的两相邻点经过迭代后互相靠近，而在不稳定的不动点附近，两相邻点经过迭代后互相分离。从另一个角度看，分离过程可以看做是丧失记忆的过程，即信息丢失的过程。那么，李指数就可以度量在迭代过程（动力学过程）中的信息丢失。

用信息的准确性可以度量我们对于当前的情况掌握（知道）了多少。在数学迭代过程中，将最大的正李指数记为λmax，用它来度量每随时间向前走一个迭代周期，将丢失λmax的确定能力或预测能力。由此，如果知道最大的李指数λmax，就可以确定对于未来预报的可靠性。事实上，由于我们永远不可能知道研究对象所涉及的所有特征，也就不可能确定系统的运动方程，就不能对其按运动规律准确预测。

为了研究李指数与信息丢失的关系，我们来研究函数y=f（x）。函数y=f（x）将x的区间映射到y的区间，将x方向的区间［0,1］映射到y方向的区间［0,1］，则在y轴上与δ相应的区间间隔长度就变为

δ′=f′（x0）δ

根据信息量的定义，x0的象f（x0）落入用δ′划分格子这一事件的信息量即为

I=-log2δ′=-log2f′（x0）-log2δ

在映射过程丢失的信息量即为

ΔI=I-I0=log2f′（x0）（4-2）

考虑一个N次迭代序列xi，则N次迭代中损失的信息即为

当N→∞时，平均每迭代一次的信息丢失量即为

该结果可以推广到任意维的映射。比较4－1式即有

λ（x0）=ΔIln2（4-5）

此式即表明李指数与信息丢失的关系。

3.可预测时间

对于混沌系统，信息熵也决定了对可预测系统状态的平均可观测时间。在n个步长以后，区间l增加到L=leλn，根据信息载波理论可知，只有当时间n小于其特征时间Tm时，才能对系统的状态作出精确预测，即有

此式表明了李指数与可预测时间之间的关系：李指数越大，可预测的时间就越短。

4.信息熵与李指数之间的关系

人们已经研究了李指数与柯尔莫哥洛夫信息熵的意义：系统先前所在的区域以正比于正李指数的速率在相空间中分离，在系统的演化过程中所丢失的信息与李指数相关。香农熵由此与正的李指数表征的相邻轨线的发散性联系起来［21］。好奇心也由此与李指数建立起了关系［2］。